Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} 3 - x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5)}{x + 5} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} - x + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 1.3

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} - x \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 1.4

Combine $- x$ e $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5)}{x + 5} + \frac{3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.3

Mova $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x \cdot x - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.4

Fatore o negativo.

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x \cdot x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{1 + 1} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 1 \cdot 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.2

Multiplique.

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Etapa 2.1.2.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 5 x + 3 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $- 5 x$ e $3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + 15 + x^{2} - 2 x}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.8.4.1

Mova $15$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} - 2 x + x^{2} - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.4.2

Reordene $- 2 x$ e $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{2} + x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - x^{2} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.5

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.6

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 2 x - 2 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.8.7

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 4 x + 15}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.2.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é menos infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x + 5}$

Etapa 2.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x}{x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x (x + 5) + 3 (x + 5) + x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [- x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x (x + 5)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x (x + 5)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x (x + 5)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{d}{d x} [x (x + 5)] + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x (1 + 0) + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.7

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x \cdot 1 + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + (x + 5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.9

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (x + x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.3.10

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + \frac{d}{d x} [3 (x + 5)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 (x + 5)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (x + 5)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x + 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \frac{d}{d x} [x + 5] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + \frac{d}{d x} [5]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.6.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x + 5) + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (2 x) - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 1 \cdot 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 5 + 3 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2.3

Some $- 5$ e $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x - 2 + 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2.4

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2.5

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.7.2.6

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x + 5]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Etapa 2.3.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1 + 0}$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4}{1}$

Etapa 2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} - 4$

Etapa 3

Avalie o limite de $- 4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 4$