Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{9 e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{9}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente $\frac{x}{5}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{5}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2.5

Combine os fatores.

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Etapa 2.5.1

Combine $3$ e $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 2.5.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 3

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4.1.3

Como o expoente $\frac{x}{5}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{5}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} 2 x \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4.5

Combine os fatores.

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Etapa 4.5.1

Combine $2$ e $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} x \frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 4.5.3

Combine $x$ e $\frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 5

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 6.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 6.1.3

Como o expoente $\frac{x}{5}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{5}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 6.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Etapa 6.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{5}$ .

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Etapa 6.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 6.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 6.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Etapa 6.3.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Etapa 6.3.7

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Etapa 6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 6.5

Multiplique $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 7

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.1.2

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 5) \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 5) \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$\frac{5}{3} \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.3

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $10$ .

$\frac{5 \cdot 10}{3} \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.3.2

Multiplique $5$ por $10$ .

$\frac{50}{3} \cdot 5 \cdot 0$

Etapa 9.4

Multiplique $\frac{50}{3} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Combine $\frac{50}{3}$ e $5$ .

$\frac{50 \cdot 5}{3} \cdot 0$

Etapa 9.4.2

Multiplique $50$ por $5$ .

$\frac{250}{3} \cdot 0$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{250}{3}$ por $0$ .

$0$