Cálculo Exemplos

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ como $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

Etapa 2

Expanda $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.4

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 3.1.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.5.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 3.1.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

Etapa 3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

Etapa 3.1.7

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.7.1

Mova $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

Etapa 3.1.7.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

Etapa 3.1.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

Etapa 3.2

Some $4 x y^{3}$ e $4 y^{3} x$ .

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Etapa 3.2.1

Mova $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Etapa 3.2.2

Some $4 x y^{3}$ e $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 6

Como $y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{4}$ em relação a $x$ é $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 8

Mova $2$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 9

Como $8 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x y^{3}$ em relação a $x$ é $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 11

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Etapa 12

Como $16 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

Etapa 13

Some $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Etapa 14.2

Combine os termos.

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Etapa 14.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Etapa 14.2.2

Combine $y^{4}$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Etapa 14.2.3

Combine $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ e $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Etapa 14.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Etapa 14.2.5

Combine $8$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

Etapa 14.2.6

Combine $\frac{8}{5}$ e $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$