Cálculo Exemplos

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Etapa 2

Expanda $(u - 4) u^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Etapa 2.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Etapa 2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Etapa 2.4

Some $1$ e $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Etapa 5

Como $- 4$ é constante com relação a $u$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$