Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 6.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 7

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 7.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 9

Combine.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 12

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 12.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Etapa 12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 12.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 15

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18

Simplifique os termos.

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Etapa 18.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.3

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.5

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.6

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 18.7

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 19

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.1

Reescreva $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 19.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$