Cálculo Exemplos

$y = {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\sin (7 x)}^{\ln (x)})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({\sin (7 x)}^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (\sin (7 x))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \ln (\sin (7 x))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $\ln (x) \ln (\sin (7 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (7 x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (7 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (7 x))] + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (7 x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\frac{1}{\sin (7 x)} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.4

Converta de $\frac{1}{\sin (7 x)}$ em $\csc (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $7 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.5.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 x$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6

Diferencie.

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Etapa 3.2.6.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) \cos (7 x) (7 \cdot 1)) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.3.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (\csc (7 x) \cos (7 x) \cdot 7) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.6.3.2

Mova $7$ para a esquerda de $\csc (7 x) \cos (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (7 \cdot (\csc (7 x) \cos (7 x))) + \ln (\sin (7 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.2.7

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (7 \csc (7 x) \cos (7 x)) + \ln (\sin (7 x)) \frac{1}{x}$

Etapa 3.2.8

Combine $\ln (\sin (7 x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \ln (x) (7 \csc (7 x) \cos (7 x)) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9

Simplifique.

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Etapa 3.2.9.1

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = 7 \cos (7 x) \csc (7 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.9.2.1

Reescreva $\csc (7 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = 7 \cos (7 x) \frac{1}{\sin (7 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.2.2

Multiplique $7 \cos (7 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

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Etapa 3.2.9.2.2.1

Combine $\frac{1}{\sin (7 x)}$ e $7$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{7}{\sin (7 x)} \cos (7 x) \ln (x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.2.2.2

Combine $\frac{7}{\sin (7 x)}$ e $\cos (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \ln (x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.2.3

Combine $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{7 \cos (7 x) \ln (x)}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.9.3.1

Separe as frações.

$\frac{y'}{y} = \frac{7 \ln (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.3.2

Converta de $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ em $\cot (7 x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{7 \ln (x)}{1} \cot (7 x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 3.2.9.3.3

Divida $7 \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x) \cot (7 x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (7 \ln (x) \cot (7 x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $7 \ln (x)$ movendo $7$ para dentro do logaritmo.

$y' = (\ln (x^{7}) \cot (7 x) + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\cot (7 x)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = (\ln (x^{7}) \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.1.3

Combine $\ln (x^{7})$ e $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$y' = (\frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x}) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} {\sin (7 x)}^{\ln (x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x} {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ e ${\sin (7 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x))}{x} {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$

Etapa 5.4

Combine $\frac{\ln (\sin (7 x))}{x}$ e ${\sin (7 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de ${\sin (7 x)}^{\ln (x)}$ e $\sin (7 x)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $\sin (7 x)$ de $\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (7 x) (\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (7 x)} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$y' = \frac{\sin (7 x) (\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (7 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sin (7 x) (\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1})}{\sin (7 x) \cdot 1} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1}}{1} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.5.2.4

Divida $\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.6

Para escrever $\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1} x}{x} + \frac{\ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$

Etapa 5.8

Reordene os fatores em $\frac{\ln (x^{7}) \cos (7 x) {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1} x + \ln (\sin (7 x)) {\sin (7 x)}^{\ln (x)}}{x}$ .

$y' = \frac{x {\sin (7 x)}^{\ln (x) - 1} \ln (x^{7}) \cos (7 x) + {\sin (7 x)}^{\ln (x)} \ln (\sin (7 x))}{x}$