Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} - a^{2}}{x - a}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - a^{2}$ e $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - a^{2}] - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - a^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x + 0) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x) - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - a$ .

$\frac{2 \cdot (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - a) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 (- a)) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 (- a) x - (x^{2} - a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- a) x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} - - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $- - a^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} + 1 a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2

Multiplique $a^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - x^{2} + a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.6.1

Reorganize os termos.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

Etapa 3.6.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = a$ e $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de ${(a - x)}^{2}$ e ${(- a + x)}^{2}$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $- 1$ de $a$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- a) - (x)$ .

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.4

Aplique a regra do produto a $- 1 (- a + x)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.6

Multiplique ${(- a + x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.7

Cancele o fator comum.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Etapa 3.7.8

Reescreva a expressão.

$1$