Cálculo Exemplos

$y = x^{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (x^{\frac{1}{2}} x^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{x^{\frac{1}{2}} - 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d y} [x] x^{\frac{1}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} + \frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d y} [x] x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] (x^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (x))$

Etapa 4.12

Combine $x^{x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Etapa 4.13

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.14

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.15

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.15.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.15.2

Cancele o fator comum.

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.15.3

Reescreva a expressão.

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.16

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}}{2} x'$

Etapa 4.17

Combine $\frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}}{2}$ e $x'$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 4.18

Para escrever $x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 4.19

Combine $x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 4.21

Mova $2$ para a esquerda de $x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot (x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}) + \ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'}{2}$

Etapa 4.22

Simplifique.

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Etapa 4.22.1

Reordene os fatores em $2 x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'$ .

$\frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x' + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x) x'}{2}$

Etapa 4.22.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.22.2.1

Fatore $x'$ de $2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x' + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x) x'$ .

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Etapa 4.22.2.1.1

Fatore $x'$ de $2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} x'$ .

$\frac{x' (2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}) + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x) x'}{2}$

Etapa 4.22.2.1.2

Fatore $x'$ de $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x) x'$ .

$\frac{x' (2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}) + x' (x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.1.3

Fatore $x'$ de $x' (2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}) + x' (x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x))$ .

$\frac{x' (2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.2

Fatore $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ de $2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x)$ .

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Etapa 4.22.2.2.1

Fatore $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ de $2 x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' (x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.2.2

Fatore $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ de $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{x' (x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (\ln (x)))}{2}$

Etapa 4.22.2.2.3

Fatore $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ de $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (\ln (x))$ .

$\frac{x' (x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (2 + \ln (x)))}{2}$

$\frac{x' x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.3

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x' x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.4

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x' x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x' x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Etapa 4.22.3

Reordene os fatores em $\frac{x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2}$

Etapa 6

Resolva $x'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2} = 1$ .

$\frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $2 \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x'}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) x' = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)) x' = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$(2 \cdot x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)) x' = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} x' + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x) x' = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.5

Reordene os fatores em $2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} x' + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x) x'$ .

$2 x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x) = 2$

Etapa 6.4

Fatore $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $2 x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

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Etapa 6.4.1

Mova $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$2 x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x' \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} = 2$

Etapa 6.4.2

Fatore $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $2 x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x' \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} = 2$

Etapa 6.4.3

Fatore $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $x' \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x) = 2$

Etapa 6.4.4

Fatore $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) = 2$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) = 2$ por $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))$ e simplifique.

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Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x)) = 2$ por $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))$ .

$\frac{x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))} = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))} = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$

Etapa 6.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (2 + \ln (x))}{2 + \ln (x)} = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$

Etapa 6.5.2.3

Cancele o fator comum de $2 + \ln (x)$ .

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Etapa 6.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 + \ln (x))}{2 + \ln (x)} = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$

Etapa 6.5.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$

Etapa 7

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}$