Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{- 2 x^{7}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}]$

Etapa 1.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ e $g (x) = x^{7}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{7})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.5

Multiplique $5$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.8

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + 0) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.10

Some $10 x^{4} + 12 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Etapa 3.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2

Fatore $x^{6}$ de $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

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Etapa 3.12.2.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3})$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2.2

Fatore $x^{6}$ de $- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Etapa 3.12.2.3

Fatore $x^{6}$ de $x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Etapa 4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{6}$ de $x^{14}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8} \cdot 2}$

Etapa 6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{8}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 \cdot x^{8}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 x^{8}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{10 x \cdot x^{4} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.2.1

Mova $x^{4}$ .

$- \frac{10 (x^{4} x) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{10 (x^{4} x^{1}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{10 x^{4 + 1} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Some $4$ e $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x \cdot x^{3} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x^{1}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{3 + 1} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.4.3

Some $3$ e $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.6

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.1.7

Multiplique $- 7$ por $- 1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $14 x^{5}$ de $10 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 12 x^{4} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.3.3

Subtraia $21 x^{4}$ de $12 x^{4}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.4

Fatore $- 1$ de $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{4}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - (9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{5}) - (9 x^{4})$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.7

Reescreva $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)}{2 x^{8}}$

Etapa 7.8

Fatore $- 1$ de $- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Etapa 7.9

Reescreva $- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ como $- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ .

$- \frac{- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Etapa 7.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Etapa 7.12

Multiplique $\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$ por $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$