Cálculo Exemplos

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{\frac{1}{4}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Etapa 3.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Etapa 3.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Etapa 3.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Etapa 3.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Etapa 3.3.7.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Etapa 3.3.9

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Etapa 3.3.10

Combine $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ e $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Etapa 3.3.11

Mova $y^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 3.3.12

Combine $3$ e $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- 15$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 4

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Some $\frac{15}{x^{4}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Etapa 6.3.2.1.2

Multiplique $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

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Etapa 6.3.2.1.2.1

Combine $4$ e $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Etapa 6.3.2.1.3

Combine $\frac{60}{x^{4}}$ e $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.4.3.2

Combine.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Etapa 6.4.3.3

Fatore $3$ de $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Etapa 6.4.3.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.3.4.1

Fatore $3$ de $x^{4} \cdot 3$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Etapa 6.4.3.4.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Etapa 6.4.3.4.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Etapa 6.4.3.5

Multiplique $20$ por $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$