Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{{(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{{(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.7

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1)]}$

Etapa 1.3.8

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1)]}$

Etapa 1.3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)]}$

Etapa 1.3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Etapa 1.3.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Etapa 1.3.9.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Etapa 1.3.9.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1]}$

Etapa 1.3.9.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1]}$

Etapa 1.3.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1]}$

Etapa 1.3.9.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 1.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.14

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Etapa 1.3.15

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2 + 0}$

Etapa 1.3.16

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 2}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$