Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 1

Reescreva $\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente $\frac{x}{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Etapa 2.3.10.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Etapa 2.3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Etapa 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

Etapa 2.3.14

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.7.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 2.8

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.9

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

Etapa 2.9.2

Mova $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Etapa 2.9.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Etapa 2.9.4

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Etapa 2.9.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.9.6

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2.9.7

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 2.9.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.9.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.9.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.9.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.7.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.9.7.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

Etapa 2.9.7.5

Simplifique.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

Etapa 2.10

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 3

Reduza.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 3.2

Fatore $x$ de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 3.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Etapa 3.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$0$