Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4

Expanda $(3 x^{2} - 2 x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.5

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.7.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.10

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.12

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.14

Mova $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Etapa 12.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 12.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$