Cálculo Exemplos

$y = \csc (x) (x + \cot (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = x + \cot (x)$ .

$\csc (x) \frac{d}{d x} [x + \cot (x)] + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\csc (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\csc (x) (1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) (1 - \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + (x + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.3.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.3.4

Some $1$ e $2$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 5.3.5

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x))$

Etapa 5.3.6

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x))$

Etapa 5.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1}$

Etapa 5.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) - \csc^{3} (x) + x (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \cot^{2} (x)$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Etapa 5.5

Fatore $\csc (x)$ de $- x \cot (x) \csc (x) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $\csc (x)$ de $- x \cot (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) - \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Etapa 5.5.2

Fatore $\csc (x)$ de $- \cot^{2} (x) \csc (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) - \csc^{3} (x)$

Etapa 5.5.3

Multiplique por $1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 - \csc^{3} (x)$

Etapa 5.5.4

Fatore $\csc (x)$ de $- \csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Etapa 5.5.5

Fatore $\csc (x)$ de $\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- \cot^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Etapa 5.5.6

Fatore $\csc (x)$ de $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x)) + \csc (x) \cdot 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Etapa 5.5.7

Fatore $\csc (x)$ de $\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 - \csc^{2} (x))$

Etapa 5.6

Reordene $1$ e $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) + 1)$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) + 1)$

Etapa 5.8

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - (\csc^{2} (x) - 1))$

Etapa 5.10

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\csc (x) (- x \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot^{2} (x))$

Etapa 5.11

Subtraia $\cot^{2} (x)$ de $- \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- x \cot (x) - 2 \cot^{2} (x))$

Etapa 5.12

Aplique a propriedade distributiva.

$\csc (x) (- x \cot (x)) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Etapa 5.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \csc (x) x \cot (x) + \csc (x) (- 2 \cot^{2} (x))$

Etapa 5.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$

Etapa 5.15

Reordene os fatores em $- \csc (x) x \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$- x \csc (x) \cot (x) - 2 \csc (x) \cot^{2} (x)$