Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 10

Combine $e^{x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 12

Multiplique $\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 13

Combine.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 14

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 15

Cancele o fator comum de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 15.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 15.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 18

Simplifique a expressão.

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Etapa 18.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 18.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 19

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 19.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 20

Simplifique.

$\frac{e^{x} - 2 x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 21

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Reordene os termos.

$\frac{- 2 e^{x} x + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Fatore $e^{x}$ de $- 2 e^{x} x + e^{x}$ .

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Etapa 22.2.1

Fatore $e^{x}$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x + 1)}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 22.4.1

Fatore $e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 22.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 22.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (- 2 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.5

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.7

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.8

Reescreva $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$