Cálculo Exemplos

$\int \frac{3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 1

Divida $3 x^{5} - 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2$ por $x^{3} + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{5} + 0 + 0 + 3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$3 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{5}$

$0$

$3 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											-	$2 x^{3}$	+	$0$	+	$0$	-	$2$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 0 + 0 - 2$ .

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

								$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
							-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$	-	$3 x^{2}$
											-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
											+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$2$
													+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 3 x^{2} - 2 + \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int x^{2} d x + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 d x + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \int \frac{2 x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{x^{3} + 1} d x$

Etapa 8

Reescreva $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 9.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Etapa 10.3

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1} + 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 \int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + 2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 13.1.1

Diferencie $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Etapa 13.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 13.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 2 x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 1$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$x^{3} - 2 x + \frac{2}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$