Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} 8 e^{- 8 x} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 8 e^{- 8 x} d x$

Etapa 2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{t} e^{- 8 x} d x$

Etapa 3

Deixe $u = - 8 x$ . Depois, $d u = - 8 d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - 8 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 3.1.2

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 8 x$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 8 x$ .

$u_{upper} = - 8 t$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8 t$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$lim_{t \to \infty} 8 \int_{0}^{- 8 t} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 8 (- \int_{0}^{- 8 t} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$lim_{t \to \infty} - 8 \int_{0}^{- 8 t} \frac{e^{u}}{8} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - 8 (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 8}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $8$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8 (1)} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 1} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 8.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 8 t} e^{u} d u$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 8 t})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $e^{u}$ em $- 8 t$ e em $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 8 t}) - e^{0})$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 8 t} - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 8 t} - 1)$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite.

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Etapa 11.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 8 t} - 1$

Etapa 11.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 8 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 11.2

Como o expoente $- 8 t$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- 8 t}$ se aproxima de $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 11.3

Avalie o limite.

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Etapa 11.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 11.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (0 - 1)$

Etapa 11.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- - 1$

Etapa 11.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$