Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Etapa 3.4.3.2.4

Divida $e^{- x} (- x + 1)$ por $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Etapa 3.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Etapa 3.4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Etapa 3.4.6

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Etapa 3.4.7

Reordene os fatores em $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$