Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Reordene os fatores em $x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 1 \cdot 1 = 1$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $- 1$ mais $- 1$

$\frac{e^{x} x^{2} + (- 1 - 1) (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 (e^{x} x) - 1 (e^{x} x) + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.4

Mova os parênteses.

$\frac{e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(e^{x} x^{2} - 1 e^{x} x) - 1 e^{x} x + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{e^{x} x (x - 1) - 1 e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} x - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - 1 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) - 1 e^{x})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 1 e^{x}$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 1) (e^{x} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{(x - 1) e^{x} (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1) e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $\frac{{(x - 1)}^{2} e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$