Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{1} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.1.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Etapa 2.1.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.4.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.5

Combine $\frac{\sqrt{35}}{7}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.1.6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(\sqrt{35} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.6.2

Aplique a regra do produto a $\sqrt{35} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{\sqrt{35}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Etapa 2.1.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.7.5

Avalie o expoente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.8

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.9

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 2.1.1.9.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 (- 1) \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.9.2

Fatore $7$ de $49$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.10

Cancele o fator comum de $35$ e $7$ .

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Etapa 2.1.1.10.1

Fatore $7$ de $35 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.1.10.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.10.2.4

Divida $5 \sin^{2} (t)$ por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.1.11

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $5$ de $5$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $5$ de $- 5 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $5$ de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.6

Reordene $5$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{5} \cdot 7} d t$

Etapa 2.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $\cos (t) \sqrt{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cdot (\cos (t) \sqrt{5})} d t$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cos (t) \sqrt{5}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} d t$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$ como $\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ .

$\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ como $\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}}) + C$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} x) + C$