Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{x}{3} + 6 \sqrt{x})}^{3}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 10

Combine $6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 12

Fatore $2$ de $6$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$3 {(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reescreva ${(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ como $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 ((\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.2

Expanda $(\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})$ usando o método FOIL.

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Etapa 14.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (\frac{x}{3} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 14.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.3.1.1

Multiplique $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Etapa 14.3.1.1.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{x}{3}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.1.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (6 x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 6 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.3.1.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 (2) \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 3 \cdot 2 \frac{x}{3} x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.3.1.4.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 14.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.4.5

Some $1$ e $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.3.1.5.1

Fatore $3$ de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{x}{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.10

Some $2$ e $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} (6 x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.12

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.3.1.12.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.12.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{1 + 1}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.12.4

Some $1$ e $1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{\frac{2}{2}}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.12.5

Divida $2$ por $2$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x^{1}) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.13

Simplifique $6 \cdot 6 x^{1}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 6 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.1.14

Multiplique $6$ por $6$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.3.2

Some $2 x^{\frac{3}{2}}$ e $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{9} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 \frac{x^{2}}{9} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.5

Simplifique.

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Etapa 14.5.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$(3 \frac{x^{2}}{3 (3)} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.5.1.2

Cancele o fator comum.

$(3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.5.1.3

Reescreva a expressão.

$(\frac{x^{2}}{3} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.5.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 3 (36 x)) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.5.3

Multiplique $36$ por $3$ .

$(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.6

Expanda $(\frac{x^{2}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} + 108 x) (\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.7.1

Combine.

$\frac{x^{2} \cdot 1}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.4

Combine.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3}{3 x^{\frac{1}{2}}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 3 x^{- \frac{1}{2}}}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.7.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.7.6.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.6.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.7

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.8

Divida $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.7.9.1

Fatore $3$ de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 3 (4 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{3} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.10

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 14.7.10.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (12 x^{\frac{2}{2}}) \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.11

Multiplique $3$ por $12$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{\frac{2}{2}} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.12

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x^{1} + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.13

Simplifique.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 108 x \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.14

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.7.14.1

Fatore $3$ de $108 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 3 (36 x) \frac{1}{3} + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.15

Multiplique $108 x \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 14.7.15.1

Combine $108$ e $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{108 \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.15.2

Multiplique $108$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.15.3

Combine $x$ e $\frac{324}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + \frac{x \cdot 324}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7.16

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x \cdot 324 x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 14.7.17

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.7.17.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 324$

Etapa 14.7.17.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 14.7.17.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 324$

Etapa 14.7.17.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 324$

Etapa 14.7.17.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 324$

Etapa 14.7.17.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 324$

Etapa 14.7.17.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 324$

Etapa 14.7.18

Mova $324$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 14.8

Some $x^{\frac{3}{2}}$ e $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 36 x + 36 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 14.9

Some $36 x$ e $36 x$ .

$\frac{x^{2}}{9} + 5 x^{\frac{3}{2}} + 72 x + 324 x^{\frac{1}{2}}$