Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{4 x}$

Etapa 1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $3$ de $3 x + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x) + 9}}{x}$

Etapa 1.2.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}{x}$

Etapa 1.2.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x + 3)}}{x}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 3.7

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 12

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13

Avalie o limite.

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{1}$

Etapa 13.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.3.1

Divida $0 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}}{1}$

Etapa 13.3.2

Divida $\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0^{2}} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Etapa 13.3.3.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 0)})$

Etapa 13.3.3.7

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 \cdot 0})$

Etapa 13.3.3.8

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0})$

Etapa 13.3.3.9

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0^{2}})$

Etapa 13.3.3.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{4} (0 - 0)$

Etapa 13.3.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Etapa 13.3.4

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 13.3.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0$