Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva ${(8 - x^{3})}^{8}$ como ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore ${(8 - x^{3})}^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{6} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva ${(8 - x^{3})}^{6}$ como ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ como ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 3

Multiplique ${(8 - x^{3})}^{2}$ por ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 + \frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{6 + 2}{3}}}]$

Etapa 3.5.2

Some $6$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}]$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ como ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.1

Combine $\frac{8}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}}]$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{8}{3}}$ e $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} u^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 - x^{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 9.2

Subtraia $3$ de $- 8$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 10.2

Combine ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ e $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.1

Mova $8$ para a esquerda de ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 10.3.2

Mova ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 12

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 13

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 15

Multiplique.

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (3 x^{2})$

Etapa 17

Simplifique os termos.

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Etapa 17.1

Combine $3$ e $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Etapa 17.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Etapa 17.3

Combine $\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Etapa 17.4

Fatore $3$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Etapa 18

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 18.1

Fatore $3$ de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}})}$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Etapa 18.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{8 x^{2}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{11}{3}}}$