Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (\arccos (t))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \arcsin (t)$ e $g (t) = \arccos (t)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\arccos (t)$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\arccos (t)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Etapa 2

A derivada de $\arccos (t)$ em relação a $t$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

Etapa 3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Etapa 3.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Etapa 4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \arccos (t)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

Etapa 5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

Etapa 6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$