Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Etapa 5

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Avalie $2 x$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 6.1.2

Avalie $- \cot (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Combine $2$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.2.2

Divida $π$ por $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.3

Combine $- 2$ e $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 6.1.3.4.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.6

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.7

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.1.3.10

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Etapa 6.2.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Etapa 6.2.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2} - 1$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$