Cálculo Exemplos

$y = 6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.4.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + 0$

Etapa 1.4.3

Some $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$72 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$72 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 18 x + 2$