Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{5 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.3

Multiplique $\sin (3 \cdot 0)$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (4 x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (4 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (4 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.13

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \cos (4 x) - 4 \sin (3 x) \sin (4 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (4 x))$

Etapa 3.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Etapa 3.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Etapa 3.11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x))$

Etapa 3.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x))$

Etapa 3.13

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot \cos (0) - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.8

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.9

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0))$

Etapa 5.1.10

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot \sin (0))$

Etapa 5.1.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0 \cdot 0)$

Etapa 5.1.12

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 + 0)$

Etapa 5.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 3$

Etapa 5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$\frac{3}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3}{5}$

Forma decimal:

$0.6$