Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Etapa 1

Complete o quadrado.

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Etapa 1.1

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Etapa 1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Etapa 1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Etapa 1.5.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Etapa 1.5.2.1.4

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 1.5.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 1.5.2.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Etapa 1.5.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Etapa 2.1.4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Etapa 2.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Etapa 3

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Etapa 3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Etapa 4

Reescreva $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Reordene $- {u_{1}}^{2}$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{2}$ e $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 7

Para escrever $u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Combine $u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 9

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Etapa 10

Para escrever $- u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Etapa 11

Combine $- u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Etapa 13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Etapa 14

Multiplique $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ por $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Etapa 15

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Etapa 16

Reescreva $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

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Etapa 16.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Etapa 16.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Etapa 16.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Etapa 17

Simplifique os termos.

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Etapa 17.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Etapa 17.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 18

Expanda $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ usando o método FOIL.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 18.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 19

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.2

Multiplique $- 2 u_{1}$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.5

Multiplique $u_{1}$ por $u_{1}$ somando os expoentes.

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Etapa 19.1.5.1

Mova $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.5.2

Multiplique $u_{1}$ por $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.1.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.2

Some $- 2 u_{1}$ e $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 19.3

Some $1$ e $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 20

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 21

Deixe $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ é positivo.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22

Simplifique os termos.

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Etapa 22.1

Simplifique $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 22.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 22.1.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.2

Simplifique.

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Etapa 22.2.1

Combine $\cos (t)$ e $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Etapa 22.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Etapa 22.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Etapa 22.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 23

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 24.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 25

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 26

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 27

Simplifique.

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Etapa 27.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 27.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 28

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 29

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 30

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 30.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 30.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 30.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 30.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 30.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 30.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 30.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 30.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 30.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 30.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 30.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 30.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 30.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 31

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 32

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 33

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 34

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Etapa 34.2

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 34.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 34.3.2

Some $π$ e $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 34.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 34.3.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Etapa 35

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 35.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 35.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 35.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Etapa 35.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Etapa 35.1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Etapa 35.1.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Etapa 35.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Etapa 35.1.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 35.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Etapa 35.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Etapa 35.3

Combine $\frac{1}{8}$ e $π$ .

$\frac{π}{8}$

Etapa 36

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$

Etapa 37