Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de ${(x - 1)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - {(0 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - {(0 - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{0}{1 - {(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - {(x - 1)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - {(x - 1)}^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - ((x - 1) (x - 1))]}$

Etapa 1.3.4

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))]}$

Etapa 1.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]}$

Etapa 1.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Etapa 1.3.5.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Etapa 1.3.5.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]}$

Etapa 1.3.5.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]}$

Etapa 1.3.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - x - x + 1)]}$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1 - (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - (x^{2} - 2 x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Etapa 1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Etapa 1.3.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.8.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 1.3.8.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 \cdot 1 + 0)}$

Etapa 1.3.8.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2 + 0)}$

Etapa 1.3.8.8

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x - 2)}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - (2 x) - - 2}$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x - - 2}$

Etapa 1.3.9.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{0 - 2 x + 2}$

Etapa 1.3.9.2.3

Subtraia $- (- 2 x + 2)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 2}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2 \cdot 0 + 2}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$