Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{6}$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $1 + a$ e em $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Etapa 5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Etapa 5.4.2

Some $0$ e $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$