Cálculo Exemplos

${(x + y)}^{2} = 2 x + 2 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + 2 y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(x + y)}^{2}$ como $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

Etapa 2.2

Expanda $(x + y) (x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Some $x y$ e $y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Etapa 2.3.2.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.7.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y y'$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Etapa 2.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x + 2 x y' + 2 y + 2 y y'$

Etapa 2.10.3

Reordene os termos.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 + 2 y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$2 y' + 2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y = 2 y' + 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $2 y'$ dos dois lados da equação.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y - 2 y' = 2$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - 2 y' = 2 - 2 x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y' + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.3

Fatore $2 y'$ de $2 x y' + 2 y y' - 2 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore $2 y'$ de $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' y - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y'$ de $- 2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' y + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.4

Fatore $2 y'$ de $2 y' x + 2 y' y$ .

$2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.3.5

Fatore $2 y'$ de $2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ por $2 (x + y - 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ por $2 (x + y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x + y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - x - y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3

Cancele o fator comum de $1 - x - y$ e $x + y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - x - y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - (x) - y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - y}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.4

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - (y)}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 1 + x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x + y)}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.6

Reordene os termos.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.7

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3.8

Divida $- 1$ por $1$ .

$y' = - 1$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1$