Cálculo Exemplos

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{4 \sqrt{x}} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{4} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{4} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (1)}{4} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$