Cálculo Exemplos

$y^{2} x - x^{2} y = y - 2 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x - x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 2 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} x - x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} \cdot 1 + x (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + x (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y^{2} + 2 x y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$y^{2} + 2 x y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + 2 y x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y') - (2 y x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 y x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y' - 2 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$y' - 2$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y = y' - 2$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y - y' = - 2$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y - y' = - 2 - y^{2}$

Etapa 5.2.2

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$2 x y y' - x^{2} y' - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $2 x y y' - x^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $2 x y y'$ .

$y' (2 x y) - x^{2} y' - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (2 x y) + y' (- x^{2}) - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 x y) + y' (- x^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' (2 x y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 x y - x^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (2 x y - x^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$ por $2 x y - x^{2} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$ por $2 x y - x^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y - x^{2} - 1)}{2 x y - x^{2} - 1} = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 x y - x^{2} - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x y - x^{2} - 1)}{2 x y - x^{2} - 1} = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2}{2 x y - x^{2} - 1} - \frac{y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 - y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 - y^{2} + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - y^{2} + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (y^{2}) + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2}) + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2}) - (- 2 x y)}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2 + y^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2} - 2 x y)}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 + y^{2} - 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + y^{2} - 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$