Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{4} + 1)}^{5}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(\frac{x}{4} + 1)}^{5}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = \frac{x}{4} + 1$ . Depois, $d u = \frac{1}{4} d x$ , então, $4 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \frac{x}{4} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\frac{x}{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} (1 \cdot 4) d u$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot 4 d u$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{u^{5}}$ e $4$ .

$\int \frac{4}{u^{5}} d u$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $u$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $u^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 \int u^{- 5} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 5}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $u^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Etapa 8.1.2

Mova $u^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$4 (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 8.3.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$\frac{- 4}{4 u^{4}} + C$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 8.3.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $4$ de $4 u^{4}$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (u^{4})} + C$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 u^{4}} + C$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{u^{4}} + C$

Etapa 8.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{u^{4}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4} + 1$ .

$- \frac{1}{{(\frac{x}{4} + 1)}^{4}} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$- \frac{1}{{(\frac{1}{4} x + 1)}^{4}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{{(\frac{x}{4} + 1)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{{(\frac{1}{4} x + 1)}^{4}} + C$