Cálculo Exemplos

$p = \frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $q$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ é $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , em que $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ e $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (q) - \sin (q)$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (q)$ em relação a $q$ é $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $- \sin (q)$ em relação a $q$ é $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.5

A derivada de $\sin (q)$ em relação a $q$ é $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.6

A derivada de $\cos (q)$ em relação a $q$ é $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7

Multiplique.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\cos (q) - \sin (q)$ por $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.3.1

Combine os termos opostos em $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

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Etapa 3.8.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (q) (- \sin (q))$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.1.2

Some $- \cos (q) \sin (q)$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.1.3

Some $\cos (q) (- \cos (q))$ e $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.2

Multiplique $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Etapa 3.8.3.2.2.1

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.2.2

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.3

Multiplique $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Etapa 3.8.3.2.3.1

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.3.2

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.3

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.4

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.5

Fatore $- 1$ de $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.6

Reorganize os termos.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.4

Combine os termos.

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Etapa 3.8.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.8.4.2

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ em $\sec^{2} (q)$ .

$- \sec^{2} (q)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = - \sec^{2} (q)$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \sec^{2} (q)$