Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 6 x}{10 - x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 6 x$ e $g (x) = 10 - x^{2}$ .

$\frac{(10 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x] - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \cdot 1) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 1 (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $x^{2} + 6 x$ por $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) (2 x)}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.12

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 6 x$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 \cdot (x^{2} + 6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (2 x^{2} + 2 (6 x)) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Expanda $(10 - x^{2}) (2 x + 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (2 x + 6) - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{20 x + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $10$ por $6$ .

$\frac{20 x + 60 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 (x \cdot x))}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x^{2})}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 0 + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $20 x + 60 - 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $- 6 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 60 + 6 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{6 x^{2} + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $6 x^{2} + 20 x + 60$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $2$ de $20 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2$ de $60$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Etapa 3.5.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x + 30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$