Cálculo Exemplos

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Etapa 2.1.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Etapa 2.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ e $0$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 3.3

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Etapa 7

Combine $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Etapa 8

Avalie $\ln (| u |)$ em $3$ e em $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Etapa 9

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Etapa 10

Como a função $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ se aproxima de $- \infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 10.1

Considere o limite com o múltiplo constante $- 1$ removido.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Etapa 10.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Etapa 10.3

À medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ de qualquer um dos lados, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ diminui sem limite.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Etapa 10.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Etapa 10.5

Infinito dividido por tudo o que é finito e diferente de zero é infinito.

$- \infty$

Etapa 10.6

Como a função $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ se aproxima de $- \infty$ , a constante negativa $- 1$ vezes a função se aproxima de $\infty$ .

$\infty$