Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (5 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

Etapa 1.3

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.4

Combine $5$ e $\frac{1}{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

Etapa 3.8

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.9

Fatore $5$ de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.10

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.11

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Etapa 3.13

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Etapa 3.14

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Etapa 3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.16.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Etapa 3.16.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Etapa 3.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 3.18

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.19

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 3.20

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 5.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Reescreva $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{5}}$

Etapa 7

Reduza.

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Etapa 7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{5}}$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

Etapa 7.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1

Fatore $x$ de $x \sqrt{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{5})}$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{5} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Mova o termo $\frac{2}{\sqrt{5}}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot 0$

Etapa 10.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot 0$

Etapa 10.2.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot 0$

Etapa 10.2.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot 0$

Etapa 10.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Etapa 10.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 10.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot 0$

Etapa 10.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ por $0$ .

$0$