Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 1

Mova o termo $- 4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Etapa 7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

Etapa 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

Etapa 9

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Etapa 11.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Etapa 11.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 11.2.3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

Etapa 11.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

Etapa 11.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Etapa 11.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 11.2.6.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 11.2.6.3

Cancele o fator comum.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 11.2.6.4

Reescreva a expressão.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

Etapa 11.2.8

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

Etapa 11.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Etapa 11.5

Multiplique $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Etapa 11.6

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 11.7

Simplifique.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

Etapa 11.8

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

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Etapa 11.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

Etapa 11.8.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Etapa 11.9

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.9.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Etapa 11.9.2

Fatore $4$ de $12$ .

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Etapa 11.9.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Etapa 11.9.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 0.42264973 \dots$