Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $4$ de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Reescreva $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 \sec (t)$ de ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a regra do produto a $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $\sec (x)$ como $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Etapa 4.2

Aplique a identidade recíproca.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.2

Combine.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\csc (t)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Etapa 4.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.5

Combine $\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.6

Reduza a expressão $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Etapa 4.3.6.2

Fatore $\cot (t)$ de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Etapa 4.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Etapa 5

Como a derivada de $- \csc (t)$ é $\csc (t) \cot (t)$ , a integral de $\csc (t) \cot (t)$ é $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \frac{x}{2})$ . Portanto, $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ é $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Etapa 8.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.7

Reescreva $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Etapa 8.1.7.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.7.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.7.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.10

Combine.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Etapa 8.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.11.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Etapa 8.1.11.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Etapa 8.3

Combine.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Etapa 8.4

Multiplique $\sqrt{4 + x^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Etapa 8.5

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$