Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Etapa 2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Etapa 3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Etapa 4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Etapa 5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Etapa 7

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{6}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{6}$ por $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.4

Multiplique $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Etapa 9.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.4.2

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.6.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Etapa 9.1.6.2

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 9.1.6.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 9.1.6.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Etapa 9.1.7

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 9.1.8

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 9.1.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 9.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.1.10.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.1.10.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.1.10.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Etapa 9.1.11

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Etapa 9.2

Para escrever $- 2 \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.3

Combine $- 2 \sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Etapa 9.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.5.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.5.2

Subtraia $6 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$- 5.77350269 \dots$