Cálculo Exemplos

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x - 3$ e $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - \frac{3}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.6

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.12

Multiplique $5$ por $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.13

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Etapa 2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.14.1

Some $5$ e $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Etapa 2.14.2

Mova $5$ para a esquerda de $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Etapa 3.3.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Etapa 3.3.4

Combine $- 5$ e $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Etapa 3.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Etapa 3.3.7

Para escrever $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Etapa 3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.9

Para escrever $20 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.3.14

Some $1$ e $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.4

Expanda $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Etapa 3.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.5.2.1

Mova $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.6

Multiplique $5 \frac{3}{x}$ .

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Etapa 3.5.5.6.1

Combine $5$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.7

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.5.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.8

Multiplique $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

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Etapa 3.5.5.8.1

Combine $\frac{3}{x}$ e $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.8.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Etapa 3.5.5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Etapa 3.5.6

Some $20 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Etapa 3.5.7

Subtraia $15$ de $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Etapa 3.5.8

Some $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ e $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.9

Para escrever $40 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.11

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.11.1

Mova $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.11.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.11.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.11.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.12

Para escrever $- 12 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.13

Combine $- 12 x$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.15.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.15.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.15.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.5.15.2

Reordene os termos.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Etapa 3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.7.1

Multiplique $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Etapa 3.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Etapa 3.7.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 3.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Etapa 3.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$