Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Etapa 1.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.9

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.10

Multiplique.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Etapa 2.10.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$