Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use o teorema binomial.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.3

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Mova $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.9

Multiplique $4$ por $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Etapa 1.2.10

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Etapa 1.3

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Etapa 3

Avalie $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $3$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $7$ e $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $49$ por $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Etapa 3.3.2.2

Divida $3136$ por $4$ .

$27 \cdot 784$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $27$ por $784$ .

$21168$

Etapa 4

Avalie $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $7$ e $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $7$ por $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.3

Some $14$ e $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Etapa 4.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $56$ por $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $6$ de $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Etapa 4.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- 9 \cdot 840$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 9$ por $840$ .

$- 7560$

Etapa 5

Avalie $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Some $7$ e $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $7$ por $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$18 \cdot 56$

Etapa 5.3.3

Multiplique $18$ por $56$ .

$1008$

Etapa 6

Avalie $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 6.2

Substitua os valores na fórmula.

$(- 8) (7)$

Etapa 6.3

Multiplique $- 8$ por $7$ .

$- 56$

Etapa 7

Adicione os resultados das somas.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Subtraia $7560$ de $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Etapa 8.2

Some $13608$ e $1008$ .

$14616 - 56$

Etapa 8.3

Subtraia $56$ de $14616$ .

$14560$