Cálculo Exemplos

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Etapa 1

Reescreva $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 1.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que 0 e diferentes de 1 e quando $x$ é maior do que 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Etapa 1.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Etapa 2

Como $\frac{1}{\ln (a)}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ por $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.6

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Etapa 4.7.2

Combine $6$ e $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Etapa 4.7.3

Combine $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Etapa 5.2

Fatore $\ln (a)$ de $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $\ln (a)$ de $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Etapa 5.2.2

Fatore $\ln (a)$ de $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Etapa 5.2.3

Fatore $\ln (a)$ de $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$