Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x^{3} + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $5 x^{3} + 3 x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $5 x^{3}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + 3 x^{2} + x}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x^{1}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.5

Fatore $x$ de $x (5 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.6

Fatore $x$ de $x (5 x^{2} + 3 x) + x \cdot 1$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x (5 x^{2} + 3 x + 1)}{x \cdot x} d x$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{5 x^{2} + 3 x + 1}{x} d x$

Etapa 2

Divida $5 x^{2} + 3 x + 1$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$5 x$
	$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			+	$5 x^{2}$	+	$0$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} + 0$ .

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$

Etapa 2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$5 x$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Etapa 2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$

Etapa 2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$0$

Etapa 2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 0$ .

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$

Etapa 2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$5 x$	+	$3$
$x$	+	$0$		$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
			-	$5 x^{2}$	-	$0$
					+	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$0$
							+	$1$

Etapa 2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 5 x + 3 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x d x + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C + \ln (| x |) + C$

Etapa 9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$

Etapa 9.2

Reordene os termos.

$\frac{5}{2} x^{2} + 3 x + \ln (| x |) + C$