Cálculo Exemplos

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Etapa 2.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Etapa 2.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Etapa 2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Etapa 2.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Etapa 2.2.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Etapa 2.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Etapa 2.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Etapa 2.2.10

Combine $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Etapa 2.2.11

Mova $y^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.12

Combine $3$ e $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.14

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Etapa 5.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Etapa 5.4

Reescreva $y^{\frac{2}{3}}$ como ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Etapa 5.5

Reescreva $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ como ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Etapa 5.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Etapa 5.7

Fatore.

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Etapa 5.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ e $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Etapa 5.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Etapa 5.8

Divida cada termo em $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ por $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.8.1

Divida cada termo em $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ por $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.8.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.2.4

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.8.3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Etapa 5.8.3.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 5.8.3.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Etapa 5.8.3.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 5.8.3.2

Multiplique $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Etapa 5.8.3.3

Multiplique $y^{\frac{1}{3}}$ por $y^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.8.3.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Etapa 5.8.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Etapa 5.8.3.3.3

Some $1$ e $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 5.8.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$