Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{2} - x - 2}{3 x^{2}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2} - x - 2}{3 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - x - 2}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - x - 2}{x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} - x - 2$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x - 2] - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1 + 0) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.10

Some $6 x - 1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 3.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x}{x^{4}}$

Etapa 3.12.2

Fatore $x$ de $x^{2} (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x$ .

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Etapa 3.12.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1)) - 2 (3 x^{2} - x - 2) x}{x^{4}}$

Etapa 3.12.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (3 x^{2} - x - 2) x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1)) + x (- 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x^{4}}$

Etapa 3.12.2.3

Fatore $x$ de $x (x (6 x - 1)) + x (- 2 (3 x^{2} - x - 2))$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x^{4}}$

Etapa 4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{x^{3}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{x^{3}}$ .

$\frac{x (6 x - 1) - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{3 x^{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2} - x - 2)}{3 x^{3}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x - 2 \cdot - 2}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} - x - 6 x^{2} + 2 x + 4$ .

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Etapa 6.3.2.1

Subtraia $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- x + 0 + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{- x + 2 x + 4}{3 x^{3}}$

Etapa 6.3.3

Some $- x$ e $2 x$ .

$\frac{x + 4}{3 x^{3}}$