Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 2 \cdot 2}{h}$

Etapa 1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $3$ de ${(2 + h)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 lim_{h \to 0} 2 + h - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de ${(2)}^{3}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.2.10.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.10.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.11.1.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{8 + 2 \cdot 2 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{8 + 4 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 + 4 - 1 \cdot 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.6

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 + 4 - 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.1.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 + 4 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.2

Some $8$ e $4$ .

$\frac{12 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.3

Subtraia $8$ de $12$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.2.11.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{3}$ e $g (h) = 2 + h$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d h} [2 (2 + h)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 (2 + h)$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [2 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.3

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.5.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]$ .

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.6.2

Como $- 8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 8$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.7

Como $- 4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1

Combine os termos.

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Etapa 2.3.8.1.1

Some $3 {(2 + h)}^{2} + 2$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.1.2

Some $3 {(2 + h)}^{2} + 2$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.8.2.1

Reescreva ${(2 + h)}^{2}$ como $(2 + h) (2 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((2 + h) (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.2

Expanda $(2 + h) (2 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.8.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.8.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.8.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.3.1.3

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.3.2

Some $2 h$ e $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 4 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 4 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.2.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.2.5.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 12 h + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.8.3

Some $12$ e $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{1}$

Etapa 2.4

Divida $12 h + 3 h^{2} + 14$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 12 h + 3 h^{2} + 14$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 12 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Etapa 3.2

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$12 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Etapa 3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$12 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Etapa 3.4

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $14$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$12 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$12 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

Etapa 5.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + 14$

Etapa 5.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 + 0 + 14$

Etapa 5.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 14$

Etapa 5.3

Some $0$ e $14$ .

$14$