Cálculo Exemplos

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{1}{x}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4

Reordene os fatores de $(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$

Etapa 3.5

Expanda $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x + \frac{2}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Etapa 3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.1.1

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$2 x + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.6.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.3.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.3.3

Fatore $x$ de $2 x$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.3.4

Cancele o fator comum.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.3.5

Reescreva a expressão.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot 2 - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.4

Combine $\frac{- 1}{x}$ e $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1 \cdot 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 3.6.1.7

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Etapa 3.6.1.7.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 3.6.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1.7.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.6.1.7.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Etapa 3.6.1.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Etapa 3.6.1.7.2.2

Some $1$ e $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3.6.2

Subtraia $\frac{2}{x}$ de $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3.6.3

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$